Tính chất Ma_trận_đối_xứng

Tính chất cơ bản

  • Tổng và hiệu của hai ma trận đối xứng là ma trận đối xứng.
  • Đối với tích hai ma trận đối xứng, nếu A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} là ma trận đối xứng thì tích A B {\displaystyle AB} đối xứng khi và chỉ khi A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} giao hoán (có nghĩa là A B {\displaystyle AB} = B A {\displaystyle BA} ).
  • Cho số nguyên dương n {\displaystyle n} , A n {\displaystyle A^{n}} đối xứng khi và chỉ khi A {\displaystyle A} đối xứng.
  • Nếu A − 1 {\displaystyle A^{-1}} tồn tại, thì nó đối xứng khi và chỉ khi A {\displaystyle A} đối xứng.

Phân tích thành ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng

Mọi ma trận vuông đều có thể viết thành tổng của ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng.Cách viết này là duy nhất. Phép phân tích này được gọi là phép phân tích Toeplitz. Nếu Mat n {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}} là không gian của các ma trận vuông n × n {\displaystyle n\times n} , Sym n {\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}} là không gian của các ma trận đối xứng n × n {\displaystyle n\times n} và Skew n {\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}} là không gian của các ma trận phản đối xứng n × n {\displaystyle n\times n} thì Mat n = Sym n + Skew n {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}} và Sym n ∩ Skew n = { 0 } {\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}} , hay:

Mat n = Sym n ⊕ Skew n , {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}

với ⊕ {\displaystyle \oplus } kí hiệu phép tính tổng trực tiếp. Nếu X ∈ Mat n {\displaystyle {\mbox{X}}\in {\mbox{Mat}}_{n}} thì

X = 1 2 ( X + X T ) + 1 2 ( X − X T ) {\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)} .

Quan sát rằng 1 2 ( X + X T ) ∈ Sym n {\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}} và 1 2 ( X − X T ) ∈ S k e w n {\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}} . Điều này đúng với mọi ma trận vuông có các phần tử nhập từ các trường có độ đặc trưng khác 2.

Ma trận tương đẳng với ma trận đối xứng

Ma trận chuẩn tắc

Ma trận đối xứng thực

Ma trận đối xứng phức